Решение полных квадратных уравнений. Квадратные уравнения

Решение полных квадратных уравнений. Квадратные уравнения

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!

Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если, то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.

Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.

  • Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
  • Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.

График функции является параболой:

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Решите уравнение

Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ:

Пример 10

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет один корень.

Ответ:

Пример 11

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.

Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Пример 12

Решите уравнение

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .

Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно:

Составим и решим систему:

  • и. Сумма равна;
  • и. Сумма равна;
  • и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Ответ: ; .

Пример 13

Решите уравнение

Ответ:

Пример 14

Решите уравнение

Уравнение приведенное, а значит:

Ответ:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое квадратное уравнение?

Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .

Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.

При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным .

Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное .

Методы решения неполных квадратных уравнений

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.

Можно выделить типа таких уравнений:

I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

II. , в этом уравнении коэффициент равен.

III. , в этом уравнении свободный член равен.

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если, то уравнение не имеет решений;

если, имеем учаем два корня

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 15

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

Пример 16

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.

Ответ:

Пример 17

Итак, это уравнение имеет два корня: и.

Ответ:

Вынесем общим множитель за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ:

Методы решения полных квадратных уравнений

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней?

Но ведь дискриминант может быть отрицательным.

Что делать?

Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.

  • Если, то уравнение имеет корня:
  • Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:

    Такие корни называются двукратными.

  • Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, .

А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось).

Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.

4 примера решения квадратных уравнений

Пример 18

Ответ:

Пример 19

Ответ: .

Пример 20

Ответ:

Пример 21

А значит, решений нет.

Ответ: .

2. Теорема Виета

Использовать теорему Виета очень легко.

Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 22

Решите уравнение.

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .

Сумма корней уравнения равна:

А произведение равно:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:

  • и. Сумма равна;
  • и. Сумма равна;
  • и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Таким образом, и - корни нашего уравнения.

Ответ: ; .

Пример 23

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:

и: в сумме дают.

и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.

Ответ:

Пример 24

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:

и: их разность равна - не подходит;

и: - не подходит;

и: - не подходит;

и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:

Ответ:

Пример 25

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:

Ответ:

Пример 26

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:

Очевидно, что корнями являются числа и.

Ответ:

Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант.

Старайся использовать теорему Виета как можно чаще!

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней.

Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров.

Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!

5 примеров на теорему Виета для самостоятельной работы

Пример 27

Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Не подходит, так как сумма;

: сумма - то что надо.

Ответ: ; .

Пример 28

Задание 2.

И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.

Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).

Ответ: ; .

Пример 29

Задание 3.

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

Сумма корней равна, произведение.

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное.

Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях.

Так что сперва нужно уравнение привести.

Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант).

Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:

Тогда сумма корней равна, а произведение.

Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).

Ответ: ; .

Пример 30

Задание 4.

Свободный член отрицательный.

Что в этом особенного?

А то, что корни будут разных знаков.

И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.

Итак, корни равны и, но один из них с минусом.

Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть.

Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.

Ответ: ; .

Пример 31

Задание 5.

Что нужно сделать первым делом?

Правильно, привести уравнение:

Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:

Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: ; .

Подведем итог

  1. Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
  2. Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
  3. Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.

Например:

Пример 32

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

Пример 33

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Отсюда следует: .

Ничего не напоминает?

Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.

Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:

  • если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
  • если свободный член, уравнение имеет вид: ,
  • если и, уравнение имеет вид: .

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Выразим неизвестное: ,

2) Проверяем знак выражения:

  • если, то уравнение не имеет решений,
  • если, то уравнение имеет два корня.

1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Вынесем общим множитель за скобки: ,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:

1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: .

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где

2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,

2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

  • если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
  • если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
  • если, то уравнение не имеет корней.

2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.

2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Класс: 8

Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.

1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.

Рассмотрим примеры:

3) х 2 + 10х – 24 = 0.

6(х 2 + х – х) = 0 | : 6

х 2 + х – х – = 0;

х(х – ) + (х – ) = 0;

х(х – ) (х + ) = 0;

= ; – .

Ответ: ; – .

Для самостоятельной работы:

Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.

а) х 2 – х = 0;

г) х 2 – 81 = 0;

ж) х 2 + 6х + 9 = 0;

б) х 2 + 2х = 0;

д) 4х 2 – = 0;

з) х 2 + 4х + 3 = 0;

в) 3х 2 – 3х = 0;

е) х 2 – 4х + 4 = 0;

и) х 2 + 2х – 3 = 0.

а) 0; 1 б) -2; 0 в) 0; 1

2. Метод выделения полного квадрата.

Рассмотрим примеры:

Для самостоятельной работы.

Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.

3. Решение квадратных уравнений по формуле.

ах 2 + вх + с = 0, (а | · 4а

4а 2 х 2 + 4ав + 4ас = 0;

2ах + 2ах·2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;

2 = в 2 – 4ас; = ± ;

Рассмотрим примеры.

Для самостоятельной работы.

Решите квадратные уравнения, применяя формулу х 1,2 =.

4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

x 2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение

по теореме Виета.

Если то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .

Если p, то .

Если p, то.

Например:

Если то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.

Например:

Для самостоятельной работы.

Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:

а, б, к, л – различные корни;

в, д, з – отрицательные;

г, е, ж, и, м – положительные;

5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.

Для самостоятельной работы.

Решите квадратные уравнения, применяяметод “переброски”.

6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.

I. ax 2 + bx + c = 0, где a 0

1) Если а + b + с = 0, то х 1 = 1; х 2 =

Доказательство:

ax 2 + bx + c = 0 |: а

х 2 + х + = 0.

По теореме Виета

По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим

Из этого следует, что х 1 =1; х 2 = . Что и требовалось доказать.

2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с) , то х 1 = – 1; х 2 = –

Доказательство:

По теореме Виета

По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с. Далее получим:

Поэтому х 1 = – 1; х 2 = – .

Рассмотрим примеры.

1) 345 х 2 – 137 х – 208 = 0.

а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0

х 1 = 1; х 2 = =

2) 132 х 2 – 247 х + 115 = 0.

а + b + с = 132 -247 -115 = 0.

х 1 = 1; х 2 = =

Ответ : 1;

Для самостоятельной работы.

Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения

II. ax 2 + bx + c = 0, где a 0

х 1,2 = . Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим

х 1,2 = = = =

Рассмотрим пример:

3х 2 – 14х + 16 = 0 .

D 1 = (-7) 2 – 3·16 = 49 – 48 = 1

х 1 = = 2; х 2 =

Ответ : 2;

Для самостоятельной работы.

а) 4х 2 – 36х + 77 = 0

б) 15х 2 – 22х – 37 = 0

в) 4х 2 + 20х + 25 = 0

г) 9х 2 – 12х + 4 = 0

Ответы :

III. x 2 + px + q = 0

х 1,2 = – ± 2 – q

Рассмотрим пример:

х 2 – 14х – 15 = 0

х 1,2 = 7 = 7

х 1 = -1 ; х 2 = 15.

Ответ : -1; 15.

Для самостоятельной работы.

а) х 2 – 8х – 9 = 0

б) х 2 + 6х – 40 = 0

в) х 2 + 18х + 81 = 0

г) х 2 – 56х + 64 = 0

7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.

а) х 2 – 3х – 4 = 0

Ответ: -1; 4

б) х 2 – 2х + 1 = 0

в) х 2 – 2х + 5 = 0

Ответ: нет решений

Для самостоятельной работы.

Решить квадратные уравнения графически:

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

ax 2 + bx + c = 0,

х 2 + х + = 0.

х 1 и х 2 – корни.

Пусть А(0; 1), С(0;

По теореме о секущих:

ОВ· ОД = ОА · ОС.

Поэтому имеем:

х 1 · х 2 = 1 · ОС;

ОС = х 1 х 2

К(; 0), где = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).

2) Проведём окружность с радиусом R = SA/

3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

Возможны 3 случая:

1) R > SK (или R > ).

Окружность пересекает ось ох в точке В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0), где х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (или R = ).

Окружность касается оси ох в тоске В 1 (х 1 ; 0), где х 1 – корень квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0.

3) R < SK (или R < ).

Окружность не имеет общих точек с осью ох, т.е. нет решений.

1) x 2 – 2x – 3 = 0.

Центр S(-; ),т.е.

х 0 = = – = 1,

у 0 = = = – 1.

(1; – 1) – центр окружности.

Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).

Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z 1 = – t. Получим новое уравнение:

t 2 – 4t + 3 = 0.

t 1 = 1 ; t 2 = 3

z 1 = – 1 ; z 2 = – 3.

Ответ: – 3; – 1

6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z 2 + pz + q = 0.

к 2 t 2 + p· kt + q = 0. |: к 2

к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:

Для самостоятельной работы.

у 2 + 6у – 16 = 0.

у 2 + 6у = 16, |+ 9

у 2 + 6у + 9 = 16 + 9

у 1 = 2, у 2 = -8.

Ответ: -8; 2

Для самостоятельной работы.

Решите геометрически уравнение у 2 – 6у – 16 = 0.

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Косинская основная общеобразовательная школа»

Урок с использованием ИКТ

Решение квадратных уравнений по формуле.

Разработчик:
Черевина Оксана Николаевна
учитель математики

Цель:
закрепить решение квадратных уравнений по формуле,
способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов,
развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование:
математический диктант (Презентация 1),
карточки с разноуровневыми заданиями для самостоятельной работы,
таблица формул для решения квадратных уравнений(в уголке «В помощь к уроку»),
распечатка «Старинной задачи» (количество учащихся),
балльно-рейтинговая таблица на доске.

Общий план:
Проверка домашнего задания
Математический диктант.
Устные упражнения.
Решение упражнений на закрепление.
Самостоятельная работа.
Историческая справка.

Ход урока.
Оргмомент.

Проверка домашнего задания.
- Ребята, с какими уравнениями мы по познакомились на прошедших уроках?
- Какими способами можно решать квадратные уравнения?
- Дома вы должны были решить 1 уравнение двумя способами.
(Уравнение давалось 2-х уровней, рассчитанное на слабых и сильных учеников)
- Давайте вместе со мной проверим. как вы справились с заданием.
(на доске учитель до урока делает запись решения дом. задания)
Ученики проверяют и делают вывод: неполные квадратные уравнения легче решать разложением на множители или обычным способом, полные – по формуле.
Учитель подчеркивает: не зря способ решения кв. уравнений по формуле называют универсальным.

Повторение.

Сегодня на уроке мы продолжим с вами заниматься решением квадратных уравнений. Урок у нас будет необычный, потому что сегодня вас не только я буду оценивать, но и вы сами. Чтобы заработать хорошую оценку и успешно справиться с самостоятельной работой, вы должны заработать как можно больше баллов. По одному баллу, я думаю, вы уже заработали, справившись с домашним заданием.
- А теперь я хочу, чтобы вы вспомнили и еще раз повторили определения и формулы, изученные нами по данной теме.(Ответы учащихся оцениваются 1 баллом за правильный ответ, и 0 баллов - неправильный)
- А сейчас, ребята, мы с вами выполним математический диктант, внимательно и быстро читайте задание на мониторе компьютера. (Презентация 1)
Учащиеся выполняют работу, и с помощью ключа оценивают свою деятельность.

Математический диктант.

Квадратным уравнением называют уравнение вида…
В квадратном уравнении 1-й коэффициент -…, 2-й коэффициент -…, свободный член - …
Квадратное уравнение называют приведенным, если…
Напишите формулу вычисления дискриминанта квадратного уравнения
Напишите формулу вычисления корня квадратного уравнения, если корень в уравнении один.
При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?

(самопроверка с помощью ПК, за каждый правильный ответ - 1 балл).

Устные упражнения. (на обратной стороне доски)
- Назовите сколько корней имеет каждое уравнение? (задание также оценивается в 1 балл)
1. (х - 1)(х +11) = 0;
2. (х – 2)² + 4 = 0;
3. (2х – 1)(4 + х) = 0;
4. (х – 0.1)х = 0;
5. х² + 5 = 0;
6. 9х² - 1 = 0;
7. х² - 3х = 0;
8. х + 2 = 0;
9. 16х² + 4 = 0;
10. 16х² - 4 = 0;
11. 0,07х² = 0.

Решение упражнений на закрепление материала.

Из предложенных на мониторе ПК уравнений выполняются самостоятельно(СD-7), при проверке, учащиеся выполнившие вычисления правильно поднимают руки (1 балл); в это время более слабые учащиеся решают на доске по одному уравнению и те, кто справились самостоятельно с заданием получают по 1 баллу.

Самостоятельная работа в 2-х вариантах.
Кто набрал 5 и более баллов начинают самостоятельную работу с №5.
Кто набрал 3 и менее – с №1.

Вариант 1.

а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² - 4х + 4 = 0, в) х² - х + 1 = 0.

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 поформуле D = b² - 4ac.

а) 5х² - 7х + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D= (-7²) – 4 5 2 = 49 – 40 = …;
б) х² - х – 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1) ² - 4 1 (-2) = …;

№3. Закончите решение уравнения
3х² - 5х – 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5) ² - 4 3 (-2) = 49.
х = …

№4. Решите уравнение.

а) (х - 5)(х + 3) = 0; б) х² + 5х + 6 = 0

а) (x-3)^2=3x-5; б) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)

№6. Решите уравнение x2+2√2 x+1=0
№7. При каком значении а уравнение х² - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

Вариант 2.

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х² - 8х + 6 = 0, б) х² + 2х - 4 = 0, в) х² - х + 2 = 0.

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.

а) 5х² + 8х - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² – 4 5 (- 4) = 64 – 60 = …;

б) х² - 6х + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = …;

3№. Закончите решение уравнения
х² - 6х + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = 16.
х = …

№4. Решите уравнение.

а) (х + 4)(х - 6) = 0; б) 4х² - 5х + 1 = 0

№5. Приведите уравнение к квадратному и решите его:

а) (x-2)^2=3x-8; б) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)

№6. Решите уравнение x2+4√3 x+12=0

№7. При каком значении а уравнение х² + 3ах + а = 0 имеет один корень.

Итог урока.
Подведение итогов по результатам балльно-рейтинговой таблицы.

Историческая справка и задача.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

VII. Домашнее задание.
Предлагается решить данную историческую задачу и оформить её на отдельных листах, с рисунком.

ПРИЛОЖЕНИЕ

№ Ф.И.
учащегося Виды деятельности ИТОГ
Домашнее задание Диктант Устные упражнения Закрепление материала
Работа ПК Работа у доски
1 Иванов И.
2 Федоров Г.
3 Яковлева Я.

Максимальное количество – 22-23 балла.
Минимальное – 3-5 баллов

3-10 баллов – оценка «3»,
11-20 баллов – оценка «4»,
21-23 баллов – оценка «5»

На занятии будет введено понятие квадратного уравнения, рассмотрены его два вида: полное и неполное. Отдельное внимание на уроке будет уделено разновидностям неполных квадратных уравнений, во второй половине занятия будет рассмотрено множество примеров.

Тема: Квадратные уравнения .

Урок: Квадратные уравнения. Основные понятия

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида

Фиксированные действительные числа, которые задают квадратное уравнение. Эти числа имеют определенные названия:

Старший коэффициент (множитель при );

Второй коэффициент (множитель при );

Свободный член (число без множителя-переменной).

Замечание. Следует понимать, что указанная последовательность записи слагаемых в квадратном уравнении является стандартной, но не обязательной, и в случае их перестановки необходимо уметь определять численные коэффициенты не по их порядковому расположению, а по принадлежности к переменным.

Определение. Выражение носит название квадратный трехчлен .

Пример 1. Задано квадратное уравнение . Его коэффициенты:

Старший коэффициент;

Второй коэффициент (обратите внимание, что коэффициент указывается со знаком передним);

Свободный член.

Определение. Если , то квадратное уравнение называется неприведенным , а если , то квадратное уравнение называется приведенным .

Пример 2. Привести квадратное уравнение . Разделим обе его части на 2: .

Замечание. Как видно из предыдущего примера, делением на старший коэффициент мы не изменили уравнение, но изменили его форму (сделали приведенным), аналогично его можно было и умножить на какое-нибудь ненулевое число. Таким образом, квадратное уравнение задается не единственной тройкой чисел, а говорят, что задается с точностью до ненулевого множества коэффициентов .

Определение. Приведенное квадратное уравнение получают из неприведенного путем деления на старший коэффициент , и оно имеет вид:

.

Приняты следующие обозначения: . Тогда приведенное квадратное уравнение имеет вид:

.

Замечание . В приведенной форме квадратного уравнения видно, что квадратное уравнение можно задать всего двумя числами: .

Пример 2 (продолжение). Укажем коэффициенты, которые задают приведенное квадратное уравнение . , . Эти коэффициенты также указываются с учетом знака. Эти же два числа задают и соответствующее неприведенное квадратное уравнение .

Замечание . Соответствующие неприведенное и приведенное квадратные уравнения являются одинаковыми, т.е. имеют одинаковые наборы корней.

Определение . Некоторые из коэффициентов в неприведенной форме или в приведенной форме квадратного уравнения могут равняться нулю. В таком случае квадратное уравнение называют неполным . Если же все коэффициенты ненулевые, то квадратное уравнение называют полным .

Существует несколько видов неполного квадратного уравнения.

Если решение полного квадратного уравнения мы пока не рассматривали, то решить неполное мы легко сможем уже известными нам методами.

Определение. Решить квадратное уравнение - значит найти все значения переменной (корни уравнения), при которых данное уравнение обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.

Пример 3. Рассмотрим пример указанного вида неполных квадратных уравнений. Решить уравнение .

Решение. Вынесем общий множитель . Уравнения такого типа мы умеем решать по следующему принципу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом значении переменной существует . Таким образом:

Ответ. ; .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. 1 способ. Разложим на множители по формуле разности квадратов

, следовательно, аналогично предыдущему примеру или .

2 способ. Перенесем свободный член вправо и извлечем квадратный корень из обеих частей .

Ответ . .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Перенесем свободный член вправо , но , т.е. в уравнении неотрицательное число приравнивается к отрицательному, что не имеет смысла ни при каких значениях переменной, следовательно, корней нет.

Ответ. Корней нет.

Пример 6 .Решить уравнение .

Решение . Разделим обе части уравнения на 7: .

Ответ . 0.

Рассмотрим примеры, в которых сначала необходимо привести квадратное уравнение к стандартной форме, а затем уже его решать.

Пример 7 . Решить уравнение .

Решение . Для приведения квадратного уравнения к стандартной форме необходимо перенести все слагаемые в одну сторону, например, в левую и привести подобные.

Получено неполное квадратное уравнение, которое мы уже умеем решать, получаем, что или .

Ответ . .

Пример 8 (текстовая задача) . Произведение двух последовательных натуральных чисел в два раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Решение . Текстовые задачи, как правило, решаются по следующему алгоритму.

1) Составление математической модели . На этом этапе необходимо перевести текст задачи на язык математических символов (составить уравнение).

Пусть некое первое натуральное число обозначим неизвестной , тогда следующее за ним (числа последовательные) будет . Меньшее из этих чисел - это число , запишем уравнение по условию задачи:

, где . Математическая модель составлена.

Рассказать друзьям